4. Elementos sujetos a torsión

Para esta sección es valida la hipótesis de Coulomb, la cual se verifica experimentalmente tanto en el

caso de secciones circulares macizas como huecas. La hipótesis referida establece que las secciones normales al eje de la pieza permanecen planas y paralelas a sí misma luego de la deformación por torsión. Además, luego de la deformación, las secciones mantienen su forma. Como consecuencia de lo enunciado resulta que las secciones tienen rotaciones relativas, de modo que las rectas trazadas sobre ellas continúan siendo rectas y los ángulos mantienen su medida. Por otro lado, las generatrices rectilíneas de la superficie lateral del cilindro se transforman en hélices.

A partir de las consideraciones anteriores, que están relacionadas con la compatibilidad de las deformaciones, deseamos saber qué tipo de tensiones genera la torsión simple y cual es su distribución. Supongamos en primera instancia que aparecen tensiones normales σ. Su distribución no podría ser uniforme ya que de ser así existiría una resultante normal a la sección. Al distribuirse entonces en forma variable, según la Ley de Hooke, las deformaciones especificas ε variaran también punto a punto, y la sección no continuaría siendo normal al eje, no siendo válida la hipótesis de Coulomb, que indica que la sección se mantiene plana.

En virtud de lo anterior sólo resta considerar que en el problema de torsión aparecen únicamente tensiones tangenciales. A su vez, para que las tensiones constituyan un sistema estáticamente equivalente al momento torsor Mt debe ocurrir que:

Resulta evidente que si tomamos un elemento diferencial en coincidencia con el borde de la sección, la tensión tangencial τ deberá ser tangente a la circunferencia, ya que de no ser así existirá una componente de τ radial, la que, por Cauchy, originaría una tensión tangencial aplicada sobre una generatriz del cilindro. Esto que ocurre en el borde puede admitirse que también acontece en el interior, con lo que las tensiones tangenciales beberían ser normales al radio. Además, para que puedan cumplirse las ecuaciones 5.1 y 5.2 debe ocurrir que las tensiones tangenciales sean antimétricas a lo largo de los diámetros de la sección.

De lo visto podemos obtener algunas conclusiones:

- sólo existen tensiones tangenciales

- su distribución a lo largo de un diámetro es antimétrica

- su dirección es normal al radio

Torsión se refiere al torcimiento de una barra recta al ser cargada por momentos (o pares de torsión) que tienden a producirrotacion con respecto al eje longitudinal de la barra. Por ejemplo, cuando usted gira un destornillador (figura 3.1a), su mano aplica un par de torsión T al mango (figura 3.1b) y tuerce el vástago del destornillador. Otros ejemplos de barras en torsión son los ejes de impulsion en automóviles, ejes de transmisión, ejes de hélices, barras de dirección y brocas de taladros.

Un caso idealizado de carga torsional se representa en la figura 3.2a, donde se muestra una barra recta soportada en un extremo y cargada por dos pares de fuerzas iguales y opuestas. El primer par consiste en las fuerzas P1 que actúan cerca del punto medio de la barra y el segundo para consiste de las fuerzas P2 que actúan en el extremo. Cada par de fuerzas forma un par de torsión que tiende a torcer la barra con respecto a su eje longitudinal. Como sabemos de la estática, el momento de un par de torsión es igual al producto de una de las fuerzas y la distancia perpendicular entre las linea de acción de las fuerzas; por tanto, el primer par de torsión tiene un momento T1 = P1d1 y el segundo tiene un momento T2 = P2d2.

Las unidades en el sistema inglés para el momento son la libra-pie (lb-ft) y la libra-pulgada (lb-in). La unidad en el SI para el momento es el newton metro (N∙m).

El momento de un par de torsión se puede representar por un vector en forma de una flecha con cabeza doble (figura 3.2b). La flecha es perpendicular al plano que contiene el par de torsión y, por tanto, en este caso las dos flechas son paralelas al eje de la barra. La dirección (o sentido) del momento se indica mediante la regla de la mano derecha para vectores momento: empleando su mano derecha, permita que sus dedos se curven en el sentido del momento y entonces su dedo pulgar apuntará en la dirección del vector.

Una representación alternativa de un momento es una flecha curva que actúa en el sentido de la rotación (figura 3.2c). La flecha curva y las representaciones vectoriales son de uso común y en este libro emplearemos las dos. La elección depende de la conveniencia y la preferencia personal.

Los momentos que producen el torcimiento de una barra, como los marcados T1 y T2 en la figura 3.2, se llaman pares de torsión o momentos de torsión. Los elementos cilíndricos que se someten a pares de torsión y transmiten potencia mediante rotación se llaman ejes; por ejemplo, el eje impulsor

de un automóvil o el eje de la hélice de un barco. La mayor parte de los ejes tienen secciones transversales circulares sean sólidas o tubulares.

Deformaciones unitarias por cortante en la superficie exterior 

Ahora considere un elemento de la barra entre dos secciones transversales separadas una distancia dx (consulte la figura 3.4a). Este elemento se muestra agrandado en la figura 3.4b. En su superficie exterior identificamos un elemento pequeño abcd, con lados ab y cd que al inicio son paralelos al eje

longitudinal. Durante el torcimiento de la barra, las secciones transversales derechas giran con respecto a las secciones transversales izquierdas un ángulo pequeño de torsión df, de manera que los puntos b y c se mueven a b' y c’, respectivamente. Las longitudes de los lados del elemento, que ahora es el elemento ab'c'd, no cambian durante esta rotación pequeña. Sin embargo, los ángulos en las esquinas del elemento (figura 3.4b) ya no son iguales a 90°. 

Por tanto, el elemento está en un estado de cortante puro, lo cual significa que el elemento está sometido a deformaciones por cortante pero no a deformaciones normales (consulte la figura 1.28 de la sección 1.6). La magnitud de la deformación por cortante en la superficie exterior de la barra, denotada ymax, es igual al decremento en el angulo en el punto a, es decir, el decremento en el angulad. De la figura 3.4b observamos que el decremento en este angulo es:

La fórmula de la torsión

El paso siguiente en nuestro análisis es determinar la relación entre los esfuerzos cortantes y el par de torsión T. Una vez determinada esta relación, podremos calcular los esfuerzos y las deformaciones unitarias en una barra debidas a cualquier conjunto de pares de torsión aplicados.

El momento resultante (igual al par de torsión T) es la suma a lo largo de

toda el área de la sección transversal de todos los momentos elementales:

en donde

es el momento polar de inercia de la sección transversal circular. Para un círculo con radio r y  iámetro d, el momento polar de inercia es

Es posible obtener una expresión para el esfuerzo cortante máximo reacomodando la ecuación 1), como sigue:

Esta ecuación, conocida como la fórmula de la torsión, muestra que el esfuerzo cortante máximo es proporcional al par de torsión aplicado T e inversamente proporcional al momento de inercia polar IP.

Ángulo de torsión

Ahora podemos relacionar el ángulo de torsión de una barra de material linealmente elástico con el par de torsión aplicado T. Con la fórmula de la torsión obtenemos

en donde u tiene unidades de radianes por unidad de longitud. Esta ecuación muestra que la razón de torsión u es directamente proporcional al par de torsión T e inversamente proporcional al producto GIP, conocido como rigidez torsional de la barra. Para una barra en torsión pura, el angulo de torsión f total, igual a la razón de torsión multiplicada por la longitud de la barra (es decir, f = uL), es

en donde el angulo se mide en radianes.

Ejemplos:

Una barra solida de acero con sección transversal circular (figura 3.11) tiene un diametro d = 1.5 in, longitud L = 54 in y modulo de elasticidad en cortante G = 11.5 × 106 psi. La barra esta sometida a pares de torsion T que actuan en sus extremos. (a) Si los pares de torsion tienen una magnitud T = 250 lb-ft, .cual es el esfuerzo cortante maximo en la barra? .Cual es el angulo de torsion entre los extremos? (b) Si el esfuerzo cortante permisible es 6000 psi y el angulo de torsion permisible es 2.5°, .cual es el par de torsion maximo permisible?

Solución

(a) Esfuerzo cortante máximo y ángulo de torsión. Dado que la barra tiene una sección transversal circular sólida, podemos determinar el esfuerzo cortante con, como sigue:

De una manera similar, el ángulo de torsión con el momento polar de inercia.

Por tanto, el análisis de la barra ante la acción del par de torsión dado está completo.

(b) Par de torsión máximo. El par de torsión máximo se determina mediante el esfuerzo cortante permisible o bien por el ángulo de torsión permisible. Iniciando con el esfuerzo cortante, y el cálculo es el siguiente:

Cualquier par de torsión mayor que este valor resultará en un esfuerzo cortante que sobrepasará el esfuerzo permisible de 6000 psi.

Con la siguiente ecuación ahora podemos calcular el par de torsión con base en el ángulo de torsión:

Cualquier par de torsión mayor que T2 resultará en un ángulo de torsión mayor que el permisible.

El par de torsión máximo es el menor de T1 y T2:

En este ejemplo el esfuerzo cortante permisible proporciona la condición limitante.